7.2 多元函数的可微性
7 多元函数微分学 · 共 34 题
第1题求解题
1．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x}, z_{x y}$ 。（中南大学 2001，深圳大学 2004（求 d $\displaystyle z$ ），广西民大 2008，哈师大 2000，山东科技 2006，沈阳工大 2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2005，西安交大 2007（求 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} z$ ），大连理工 2009，上海理工 2005，桂林电子科技 2010，南开大学 2004，曲阜师大 2010）
（3）设 $\displaystyle z=x^{n} f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y} .(n=3:$ 云南大学 2004 ，太原科技 2008；$\displaystyle n=2$ ：湖南师大 2008）
（1）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x}, z_{x y}$ 。（中南大学 2001，深圳大学 2004（求 d $\displaystyle z$ ），广西民大 2008，哈师大 2000，山东科技 2006，沈阳工大 2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2005，西安交大 2007（求 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} z$ ），大连理工 2009，上海理工 2005，桂林电子科技 2010，南开大学 2004，曲阜师大 2010）
（3）设 $\displaystyle z=x^{n} f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y} .(n=3:$ 云南大学 2004 ，太原科技 2008；$\displaystyle n=2$ ：湖南师大 2008）
哈尔滨师范大学 2000中南大学 2001云南大学 2004南开大学 2004深圳大学 2004上海理工 2005延安大学 2005山东科技大学 2006
+8
第2题求解题
2．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f(x+y, x y)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2006，辽宁大学 2004／2002，沈阳工大2011，武汉大学2012，温州大学2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{y y}, z_{x y}$ ，其中函数 $\displaystyle f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数．
（3）设 $\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle u=f(x-y, y-z, z-x)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle u_{x x}, u_{x y}, u_{z y}$ 。
（5）$\displaystyle u(x, y)=y g(\cos x)+f\left(\mathrm{e}^{x}, x y\right)$ ，其中 $\displaystyle g, f$ 二阶可微，求 $\displaystyle u_{x}, u_{x y}$ ．
（1）设 $\displaystyle z=f(x+y, x y)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2006，辽宁大学 2004／2002，沈阳工大2011，武汉大学2012，温州大学2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{y y}, z_{x y}$ ，其中函数 $\displaystyle f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数．
（3）设 $\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle u=f(x-y, y-z, z-x)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle u_{x x}, u_{x y}, u_{z y}$ 。
（5）$\displaystyle u(x, y)=y g(\cos x)+f\left(\mathrm{e}^{x}, x y\right)$ ，其中 $\displaystyle g, f$ 二阶可微，求 $\displaystyle u_{x}, u_{x y}$ ．
安徽大学 2007上海理工 2008武汉理工大学 2008北京交大 2009南京理工大学 2009深圳大学 2010三峡大学 2011苏州科技大学 2011
+1
第3题证明题
3．求解或证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle \phi(t), \psi(t)$ 有二阶连续导数，$\displaystyle u=\phi\left(\frac{y}{x}\right)+x \psi\left(\frac{y}{x}\right)$ ，求 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle z=x f\left(\frac{x}{y}\right)+2 y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ ．
（3）设 $\displaystyle u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f, g$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=x^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{y^{2}} g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $\displaystyle f, g$ 是任意的二阶可导函数，则
$$
x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=4 z \text {. }
$$
（5）设 $\displaystyle z=y f\left(x^{2}-y^{2}\right), f$ 为任意可微分函数，求 $\displaystyle y^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+x y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。
（1）设 $\displaystyle \phi(t), \psi(t)$ 有二阶连续导数，$\displaystyle u=\phi\left(\frac{y}{x}\right)+x \psi\left(\frac{y}{x}\right)$ ，求 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle z=x f\left(\frac{x}{y}\right)+2 y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ ．
（3）设 $\displaystyle u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f, g$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=x^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{y^{2}} g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $\displaystyle f, g$ 是任意的二阶可导函数，则
$$
x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=4 z \text {. }
$$
（5）设 $\displaystyle z=y f\left(x^{2}-y^{2}\right), f$ 为任意可微分函数，求 $\displaystyle y^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+x y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。
北京师范大学 2005天津工业大学 2005重庆大学 2005华东师范大学 2007河南师范大学 2010重庆大学 2010昆明理工大学 2011杭州师大 2013
第4题计算题
4．计算．
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $\displaystyle f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\displaystyle \varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $\displaystyle f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\displaystyle \varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.
大连理工大学 2001中央民大 2005华北水电 2005云南大学 2006广西民族大学 2008南京农业大学 2009杭州师大 2011山东科技大学 2013
第5题证明题
5．求解或证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f$ 二阶可微，$\displaystyle u(x, y, z)=f(r), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ．
（2）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ，试求出函数 $\displaystyle u$ 。
（3）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=F(r)$ ，试求出函数 $\displaystyle F(r)$ ．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ 上 $\displaystyle C^{2}$ 径 向函数，即存在一元函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=f(r)$ ， $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle f$ 满足的方程及函数 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（3）设 $\displaystyle u=u(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, n \geqslant 3$ ，若 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle u$ ．
（4）已知 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right), u=f(v), \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ ，且 $\displaystyle f(1)=-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ， $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．求 $\displaystyle f(v)$ ．
（5）设函数 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ ，试求函数 $\displaystyle f$ 的表达式．
（1）设 $\displaystyle f$ 二阶可微，$\displaystyle u(x, y, z)=f(r), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ．
（2）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ，试求出函数 $\displaystyle u$ 。
（3）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=F(r)$ ，试求出函数 $\displaystyle F(r)$ ．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ 上 $\displaystyle C^{2}$ 径 向函数，即存在一元函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=f(r)$ ， $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle f$ 满足的方程及函数 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（3）设 $\displaystyle u=u(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, n \geqslant 3$ ，若 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle u$ ．
（4）已知 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right), u=f(v), \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ ，且 $\displaystyle f(1)=-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ， $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．求 $\displaystyle f(v)$ ．
（5）设函数 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ ，试求函数 $\displaystyle f$ 的表达式．
南京航空航天大学 2001北京工业大学 2002华东理工大学 2003上海财经大学 2005浙江大学 2005南京航空航天大学 2006福建师范大学 2006厦门大学 2007
+7
第6题讨论/判定题
6．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
中国科学技术大学 2000广西师范大学 2001安徽大学 2002首都师范大学 2003北京工业大学 2004华南理工大学 2004西北大学 2004西北师范大学 2005
+28
第7题讨论/判定题
7．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
深圳大学 2007
第8题未分类
8．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{\alpha} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \alpha>0, \text { 试问 } \alpha \text { 为何值时函数 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$处可微？
上海交大 2007湖南师范大学 2010中山大学 2012
第9题计算题
9．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性，并计算 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．
西北工大 2002天津工业大学 2006湖南大学 2006兰州大学 2010北京交大 2010宁波大学 2011湖南师范大学 2011聊城大学 2011
第10题讨论/判定题
10．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
哈工大 2009中山大学 2011
第11题证明题
11．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \text { ，证明：（1）} f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 连续；（2）} f_{x}(x, y) \text { ，} \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right. f_{y}(x, y)$ 在全平面有界；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．
西安交大 2001中南大学 2004复旦大学 2004武汉大学 2004深圳大学 2004湘潭大学 2004首都师范大学 2004复旦大学 2005
+18
第12题证明题
12．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
北京航空航天大学 2001中山大学 2008苏州科技大学 2008深圳大学 2011
第13题讨论/判定题
13．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 的连续性及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
南京理工大学 2002大连理工大学 2005山东大学 2005河海大学 2011
第14题证明题
14．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x, y)$ 对每个变量 $\displaystyle x, y$ 连续，但是关于二元函数不连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在原点处任何方向导数都存在；（3）在原点不可微．
哈工大 2001湖南大学 2003湖南大学 2004燕山大学 2008首都师范大学 2008北京交大 2013浙江师范大学 2013
第15题未分类
15．构造符合条件的函数。
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．
北京大学 2000吉林大学 2000北京大学 2005东华大学 2006安徽师大 2006温州大学 2006宁波大学 2009青岛大学 2010
+1
第16题证明题
16．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\mathrm{e}^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0,(1) \text { 证明 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 可微．（2）求$f(x, y)$\displaystyle 在点$(0,0)$\displaystyle 处的 4 阶泰勒公式，并写出$f_{x y}(0,0), \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}}(0,0)$ ．
北京师范大学 1998北京师范大学 2004x^ 2009南京航空航天大学 2010
第17题讨论/判定题
17．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
上海理工 2009东南大学 2009华中师范大学 2009华中师范大学 2010安徽大学 2013
第18题证明题
18．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
南开大学 1999南开大学 2000温州大学 2007南京理工大学 2008
第19题讨论/判定题
19．讨论下列函数的可微性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 确定 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面中所有可微的点及不可微的点，并说明理由．
（2）讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(1-\cos \frac{x^{2}}{y}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \neq 0 \\ 0, y=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 确定 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面中所有可微的点及不可微的点，并说明理由．
（2）讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(1-\cos \frac{x^{2}}{y}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \neq 0 \\ 0, y=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
北京理工大学 2004北京大学 2015
第20题讨论/判定题
20．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
广西师范大学 2000广西师范大学 2003西安交大 2003西安交大 2004广西大学 2005广西师范大学 2005哈尔滨师范大学 2006宁波大学 2007
+4
第21题讨论/判定题
21．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性以及函数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
武汉大学 1995西安交大 2000东北大学 2001中南大学 2001华南理工大学 2001哈尔滨师范大学 2002中南大学 2003中国矿业大学 2003
+46
第22题未分类
22．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证 明 ：（1）$\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle p>2$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
河南大学 2001安徽师大 2013
第23题讨论/判定题
23．讨论下列问题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
中山大学 2010山东师范大学 2012云南大学 2013
第24题未分类
24．设函数 $\displaystyle f(x ; y, z)=\left\{\begin{array}{l}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\beta}+|z|^{\gamma}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,\end{array}\right.$ 试证明：当 $\displaystyle \alpha>1$, $\displaystyle \beta>1, \gamma>1, f(x, y, z)$ 在点 $\displaystyle (0,0,0)$ 可微．
安徽师大 2012
第25题未分类
25．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\tan \frac{|x|^{\lambda}+|y|^{\delta}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \lambda, \delta>0$ ，问对哪些 $\displaystyle \lambda, \delta, f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微？
分析：欲使 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，必须偏导数 $\displaystyle f_{x}(0,0) f_{y}(0,0)$ 存在．
分析：欲使 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，必须偏导数 $\displaystyle f_{x}(0,0) f_{y}(0,0)$ 存在．
暨南大学 2011
第26题证明题
26．证明下列问题．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可导，且 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）设二元函数 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=A$ ．若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可导，且 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）设二元函数 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=A$ ．若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
武汉大学 1997安徽师大 2007河北工业大学 2010华南理工大学 2013
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle u=0$ 的某个邻域中满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leqslant|u|^{a}$ 。证明：
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．
上海大学 2003东北大学 2004兰州大学 2004新疆大学 2004䐴南大学 2005中北大学 2005中国科学院 2005中山大学 2005
+7
第28题证明题
28．研究或证明下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函
数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函
数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。
北京科技大学 2003中国地质大学 2007中南大学 2012陕西师范大学 2012山东科技大学 2013
第29题证明题
29．设 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续，证明函数 $\displaystyle f(x, y)=(a x+b y) \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d f(0,0)=\varphi(0,0)(a \Delta x+b \Delta y)$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为常数．
首都师范大学 2009
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}-\{(0,0)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial y}=0$ ．求证：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
（2）设 $\displaystyle f(P)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}-\{(O)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (O)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{P \rightarrow o} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ ．求证：$\displaystyle f(P)$ 在点 $\displaystyle (O)$ 处可微．
（3）证明：若 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（4）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}, f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且 $\displaystyle f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明：$\displaystyle f_{x y}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 。，江苏大学 2009）
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}-\{(0,0)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial y}=0$ ．求证：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
（2）设 $\displaystyle f(P)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}-\{(O)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (O)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{P \rightarrow o} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ ．求证：$\displaystyle f(P)$ 在点 $\displaystyle (O)$ 处可微．
（3）证明：若 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（4）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}, f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且 $\displaystyle f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明：$\displaystyle f_{x y}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 。，江苏大学 2009）
重庆大学 2000华南理工大学 2002三峡大学 2006安徽师大 2006中国科学技术大学 2010曲阜师大 2010浙江大学 2013北京大学 2014
第31题证明题
31．已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, g(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, \dot{y}_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle d(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) d f\left(x_{0}, y_{0}\right)$
华东师范大学 2010
第32题证明题
32．证明下列各题．
（1）设可微函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在含有原点为内点的凸区域 $\displaystyle D$ 上满足 $\displaystyle x f_{x}^{\prime}(x, y)+y f_{y}^{\prime}(x, y)=0$ ．试证 $\displaystyle f(x, y)$ 为常数，$\displaystyle (x, y) \in D$ ．
（2）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的凸区域，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 中可微，满足 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=0$ ．证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \Omega$上为常数．
（3）设 $\displaystyle D$ 是由光滑曲线 $\displaystyle L$ 围成的区域，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle a \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+b \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, a, b>0$ ，若 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle L$ 上等于常数 $\displaystyle C$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上恒等于 $\displaystyle C$ 。
（4）设 $\displaystyle y=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z$ 为方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 所确定的 $\displaystyle x, y$ 函数，其中 $\displaystyle f, F$ 都有连续的一阶偏导数，证明：如果 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ ，则 $\displaystyle y(x) \equiv$ 常数．
（1）设可微函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在含有原点为内点的凸区域 $\displaystyle D$ 上满足 $\displaystyle x f_{x}^{\prime}(x, y)+y f_{y}^{\prime}(x, y)=0$ ．试证 $\displaystyle f(x, y)$ 为常数，$\displaystyle (x, y) \in D$ ．
（2）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的凸区域，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 中可微，满足 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=0$ ．证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \Omega$上为常数．
（3）设 $\displaystyle D$ 是由光滑曲线 $\displaystyle L$ 围成的区域，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle a \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+b \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, a, b>0$ ，若 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle L$ 上等于常数 $\displaystyle C$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上恒等于 $\displaystyle C$ 。
（4）设 $\displaystyle y=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z$ 为方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 所确定的 $\displaystyle x, y$ 函数，其中 $\displaystyle f, F$ 都有连续的一阶偏导数，证明：如果 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ ，则 $\displaystyle y(x) \equiv$ 常数．
北京大学 2001重庆大学 2001南京理工大学 2004青岛科技大学 2007中国科学技术大学 2011
第33题证明题
33．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的可微函数，且有 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow+\infty}\left(x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}\right)=a>0$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。试证明： $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \neq 0$ 。试证明： $\displaystyle z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
（3）函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数且 $\displaystyle f_{y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $\displaystyle c, f(x, y)=c$ 是一条直线的充要条件是：$\displaystyle f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的可微函数，且有 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow+\infty}\left(x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}\right)=a>0$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。试证明： $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \neq 0$ 。试证明： $\displaystyle z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
（3）函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数且 $\displaystyle f_{y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $\displaystyle c, f(x, y)=c$ 是一条直线的充要条件是：$\displaystyle f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ．
华中师范大学 2001四川大学 2007四川大学 2009四川大学 2011
第34题未分类
34．判断题．
（1）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 内对 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 都是连续的，则 $\displaystyle f(x, y)$ 对 $\displaystyle (x, y) \in D$ 为二元连续．
（1）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 内对 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 都是连续的，则 $\displaystyle f(x, y)$ 对 $\displaystyle (x, y) \in D$ 为二元连续．
重庆大学 2003